実在主義と言っても、その振る舞いは２通り。

実在主義：→適当な構造が実際に存在する。

１：それらは互いに初等同値である。
２：初等同値とは限らないかもしれない。

１なら、非形式的議論こそが重要ということになるが、
２の場合には、形式的な扱いによって、その中の特定の
クラスを指し示すことも有り得ますね。
さて、集合論はどちらなのでしょうか。